予測から売買量と保有経路を決める

2.1 単一期最適化：予測を「今の売買量」に変える

現在の保有から、ポートフォリオの価値を最も改善する変更量を選ぶ。予測の符号だけでなく、変更後のリスクと、変更そのものの費用を比較する。

max_z  r̂ᵀz − γrisk ψ(w + z)
             − γtrade φ̂trade(z)
             − γhold  φ̂hold(w + z)

subject to  1ᵀz = 0
            z ∈ 売買制約、w + z ∈ 保有制約

これは論文の実用的な単一期最適化（Single-Period Optimization）の式（4.9）。各項の役割は次のとおり。

• 予測リターン：r̂ᵀz
  • 売買によって追加される期待リターン。r̂ᵀ(w + z)としても、r̂ᵀwは今回選ぶzに依存しないので、最適な売買は変わらない。
• リスク：ψ(w + z)
  • 取引後に持つポートフォリオを評価。典型例は、予測共分散行列Σを使う (w + z)ᵀΣ(w + z)。ベンチマークに対するリスクなら、保有からベンチマークを引く。
• 売買コスト：φ̂trade(z)
  • どれだけポジションを変更するかにかかる。現在の保有そのものにはかからない。
• 保有コスト：φ̂hold(w + z)
  • 変更した後、何を持つかにかかる。論文ではショートの借株費用などを扱う。

この区別により、「今持っているロングを維持する」と「同量のロングを新しく作る」は、同じ取引後ポジションでも異なる判断になる。

2.2 コストを入れると、なぜ「動かない」が最適になるのか

上昇予測があるだけでは、取引費用を回収できるとは限らない。特に比例費用は、小さな保有変更の利益を打ち消し、現在のポジションを維持する領域を作る。

説明用の一銘柄モデル：
max_x  μx − (q/2)x² − a|x − x₀|

売買しない条件： |μ − qx₀| ≤ a

「売買しない」は「ノーポジションにする」ではない。μ − qx₀は、今のポジションから保有を少し増やす限界利益。その絶対値が片道コストa以内なら、x = x₀のまま動かさない。

• ノーポジションからなら、予測が弱い間はゼロを維持。
• ロング保有中なら、予測が少し弱まっても、売却費用を考えて維持することがある。
• 予測がプラスでも、既存ロングが過大なら、縮小を選ぶことがある。

大きな注文を抑えるコストは、別の効果

φtrade(u) = a|u| + bσ |u|^(3/2) / √V + cu

論文の代表的なモデル（2.2）は、比例コストに市場インパクト項を加える。uは注文額、Vは期間内の市場出来高。注文を大きくすると費用が比例以上に増え、流動性が低い期間ほど高くつく。

• a|u|：スプレッドや比例手数料。折れ曲がりが「売買しない領域」を作る。
• 3/2乗の項：大きな変更を抑える。多期間で扱うと、分割して変更する動機になり得る。
• cu：買いと売りの非対称性などを表す線形項。

滑らかな二次費用などによる「少しずつ近づく」と、比例費用による「閾値以内は動かない」は、同じ性質ではない。［§2.3、§4.8］

2.3 多期間最適化：今日の取引が、明日以降の自分を困らせないか

単一期では、今日の入り口の費用は扱える。しかし、明日の予測が反対向きなら、今日作るポジションが明日の反転費用を増やす。多期間最適化（Multi-Period Optimization）は、この連結を明示的に扱う。

max  Σ[ r̂τ|tᵀ(wτ + zτ)
        − γτ ψτ(wτ + zτ)
        − φ̂holdτ(wτ + zτ) − φ̂tradeτ(zτ) ]

各期間：wτ+1 = wτ + zτ、1ᵀzτ = 0
        売買・保有制約を満たす
期間τ：t, …, t + H − 1

式（5.1）のポイントは、将来の保有経路を選ぶこと。r̂τ|tは「時点tの情報で作った、将来の期間τのリターン予測」であり、未来に観測する実績ではない。

• 短期は上昇、長期は下落
  • コストが低ければ、まず短期上昇を取り、後に縮小・反転する。
  • コストが高ければ、短期のためだけに買って売り戻すことを避け、今は動かない可能性がある。
  • 短期と長期の予測を単純に足して相殺すると、この「時間順序と往復コスト」を失う。［§5.1、p.46］
• 将来、リスクが上がる
  • リスクが高まる前から、費用と利益を比べて段階的に減らす。
• 将来、流動性が改善する
  • 今すぐ全量を変更せず、費用の安い時期へ一部を回す。
• 将来、レバレッジ上限が厳しくなる
  • 期限直前に急に売るのでなく、制約変更に向けて経路を計画する。［pp.46–47］

2.4 同じ予測でも、費用が変わると保有経路が変わる

短期の利益と後の反転費用を、単純な条件で確認する。第1期間の期待リターンは+1%、第2期間は−1%、第3期間はゼロ保有へ戻す。下の図は解説用に最適化で計算した例であり、原論文の結果でも市場データの実測でもない。

低コストの線は+0.40から−0.40へ反転し、中程度の線は同じ方向でも±0.20へ縮む。高コストの線はゼロのまま。上昇・下落の予測が正しくても、往路・反転・復路を含む費用によって「取引しない」が選ばれる。

max  .01x₁ − .01x₂
     − .01(x₁² + x₂² + x₃²)
     − a(|x₁| + |x₂ − x₁| + |x₃ − x₂|)
subject to  x₃ = 0、|xᵢ| ≤ 1
初期保有：0、a = .001 / .003 / .006

2.5 計画は複数期間、実行するのは最初の売買だけ

未来の計画は、今の行動を評価するために使う。明日以降に出す注文を、今日すべて固定するのではない。

Model Predictive Control（モデル予測制御）またはreceding horizon controlと呼ばれる。時点tでH期間を最適化し、z_tだけ実行する。次の時点では、実際の約定後保有と新しい予測から、再びH期間を解く。［p.50］

終端で現金へ戻す制約は、「その日に必ず退出」ではない

論文は、計画末尾で現金やベンチマークへ戻す終端制約を説明する。これは退出費用を考慮するためであり、H期間後に実際に清算すると約束する意味ではない。翌時点には再び先まで計画するので、終点は移動する。［p.51］

2.6 凸にすることで、何が解きやすくなり、何を捨てているか

共分散による二次リスク、比例費用、3/2乗の費用、レバレッジ制約などは凸最適化として扱える。適切に定式化された問題では、局所解に左右されず、モデル内の大域的な最適解を求められる。

ただし「モデルを最適に解いた」と「現実の市場で最適」は別。将来予測と費用モデルの誤差に加え、計画内には口座更新の近似がある。

実際の口座更新（式2.11）：
w_t+1 = [(1 + r_t) ∘ (w_t + z_t)] / (1 + Rᵖ_t)

計画内の近似（式5.1）：
w_t+1 ≈ w_t + z_t

• 実際には、資産リターンで保有比率が動き、費用で純資産が減る。
• 計画では、一期間の変動が小さいと考えて伝播を簡略化。ただし期待リターンと費用は、目的関数から消していない。
• 高レバレッジ、大きい価格変動、長い期間区切りでは、近似の影響を確認する必要がある。これは解説上の適用上の注意であり、論文がその影響を暗号資産で測定したわけではない。

予測誤差に対して、賭けを小さくする

期待リターンの誤差を|δ| ≤ ρと置くと、最悪の予測誤差を考えたリターンは、次のようになる。［式（4.6）、pp.31–32］

r̂ᵀ(x − w_b) − ρᵀ|x − w_b|

確信の弱い銘柄ほどρを大きくし、ベンチマークから大きく離れる保有を抑える。予測を正しくする処理ではなく、予測が外れたときの感応度を抑える処理である。

3.1 口座が大きくなると、同じ再配分でも高くつく

同じ銘柄均等配分を目指し、再配分の頻度と初期資産を変える。比較するのは、年率取引費用と、均等配分ベンチマークに対する年率active risk（追随誤差）。

再配分を減らすほど、線は右下へ進む。費用が下がる一方、ベンチマークからのずれが増える。100億ドルの線が1億ドルより上にあるのは、ほぼ同じ回転率でも、市場インパクト項で大口の費用が増えるため。

3.2 予測が同じでも、リスク・売買・保有の罰則で結果が変わる

単一期最適化で複数の係数を試した後、著者が選んだフロンティア上の点を比較する。横軸は年率超過リスク、縦軸は年率平均超過リターン。ここでの「超過」は現金リターンとの差。

点は右上へ並び、リスクを増やすほど高いリターンを取る関係を示す。ただし、単にγriskだけを動かした一本の経路ではなく、売買・保有の罰則も変えた候補から選ばれた点である。

Table 7.2の一例は、γrisk = 32、γtrade = 7、γhold = 10で、年率超過リターン12.35%、超過リスク5.43%。この値は、下記の人工予測と期間内の係数選択を使った掲載例の値である。

著者は、最適化側で実際の借株費用より強くショートを罰すると、全体の成績が改善する例を説明する。最適化のγholdを10倍にしても、シミュレーターで請求する借株費用を10倍にするわけではない。行動を調整する正則化として働く。［§7.3］

3.3 多期間の線が上にある。でも、同じ情報の比較ではない

著者のFigure 7.7は、単一期とH = 2の多期間最適化のフロンティアを比較する。多期間側は、今日と翌日の売買を計画し、今日だけ実行する。

原PDF本文p.69（PDF72頁）の図を抜粋。赤＝多期間、緑＝単一期。年率超過リスクと年率超過リターン。元図の座標・凡例を保持。

赤い多期間の線が、緑の単一期の線より上に位置し、同程度のリスクで高いリターンを示す。しかし著者は、この優位性の大部分を「今日だけでなく、明日のリターン予測も持つこと」で説明している。

計画方法だけの純粋な効果を切り分けた比較ではない。多期間側には、翌日の実現リターンから作った人工予測も今日与えている。さらに、翌日の予測は翌日になっても同じという設定である。［pp.66–69］